• 正規性の検定とは？
• なぜ正規性を確認するのか
• Shapiro-Wilk 検定の考え方
• 正規性の検定を実行するためのデータセット
• 正規性の検定を実行する手順
• 正規性の検定の結果の解釈
• 正規性の検定を使ううえでの3つの注意点
• 正規性を確認したあとの分析の進め方
• まとめ
• 参考文献
• XLSTAT の無料トライアル

正規性の検定とは？

正規性の検定とは、手元のデータが「正規分布（きれいな左右対称の山型）に従っていると考えてよいか」を統計的に判断する手法です。例えば「2つのグループの平均値をt検定で比べたいが、そもそもt検定を使ってよいデータなのか確かめたい」、「測定値のばらつきが偏っている気がするので、分散分析にかける前に確認しておきたい」といった場面で用いられます。

このページでは、正規性の検定の中で最も広く使われている Shapiro-Wilk（シャピロ・ウィルク）検定を中心に、XLSTAT での実行手順と結果の読み方をご紹介します。

なぜ正規性を確認するのか

t検定や分散分析（ANOVA）といったパラメトリック検定では、各群の母集団が正規分布に従うことなど、一定の前提があります。正規性は分析前に確認する場合もありますが、分析後に残差を用いて確認する場合もあります。

前提が満たされていないデータに、そのままt検定を適用するとどうなるでしょうか。t検定は平均値を比べる手法ですが、分布が大きく右に歪んでいたり、極端に大きな値が混じっていたりすると、平均値は集団の実態からずれた位置を指すようになります。その状態で計算されたp値は、本来よりも小さく出たり大きく出たりします。つまり、本当は差がないのに「差がある」と結論づけてしまったり、その逆が起きたりするということです。

厄介なのは、こうした誤りが計算過程では一切エラーとして現れない点です。前提を満たしていないデータでも、Excel やXLSTAT は問題なくp値を出力します。出てきた数値だけを見ても、その結論が信頼できるものかどうかは判断できません。だからこそ、分析の入口で「このデータは正規分布と見なしてよいか」を確認しておく必要があります。

なお、確認した結果として正規分布に従わないと判断された場合でも、分析を諦める必要はありません。マン・ホイットニーのU検定やクラスカル・ウォリス検定といった、分布の形を問わない「ノンパラメトリック検定」に切り替えれば、正規性の検定は、適切な分析手法を検討する際の判断材料の一つになります。実際には、サンプル数や分布の歪み、分析目的なども踏まえて総合的に判断します。

Shapiro-Wilk 検定の考え方

Shapiro-Wilk 検定がどのような理屈でデータを判定しているのか、数式を使わずに考え方をご紹介します。

仮説の立て方が「逆」になることに注意

まず、正規性の検定を使ううえで最も注意するべき点は、帰無仮説と対立仮説の向きが、t検定などとは逆になっていることです。XLSTAT の出力には、以下のように表示されます。

• H0（帰無仮説）：この変数が抽出された標本は、正規分布に従います。
• Ha（対立仮説）：この変数が抽出された標本は、正規分布に従いません。

t検定では「差がない」が帰無仮説であり、p値が小さいときに「差がある」という主張ができました。ところが正規性の検定では、確認したい「正規分布に従う」という状態のほうが帰無仮説に置かれています。そのため、p値が小さいときの結論は「正規分布に従うとは言えない」となり、p値が大きいときには「正規分布に従わないとは言えない（＝正規分布として扱ってよさそう）」となります。読み方が普段と反対になるため、結果を見るときは意識するようにしましょう。

判定のしくみ

Shapiro-Wilk 検定は、データを小さい順に並べ替えたうえで、「もしこのデータが本当に正規分布から得られたものなら、各順位の値はこれくらいになるはずだ」という理論上の値と、実際の値がどれだけ一致しているかを測ります。

この一致度を0から1の範囲で表したものが、検定統計量 W です。実際の値が理論上の値とぴったり並んでいれば W は1に近づき、ずれが大きいほど1から離れていきます。

この考え方は、後ほど結果の解釈で登場するQ-Qプロットにも共通しています。Q-Qプロットは、実際の値と理論上の値を縦横の軸に取って点を打ったグラフで、両者が一致していれば点は斜めの直線上に並びます。Q-Qプロットで目に見える「直線からのずれ」を、数値1つに要約したものが W だとイメージしてください。

そして、得られた W が「正規分布から偶然生じる範囲のずれ」なのか「偶然では説明できないずれ」なのかを判定した結果が、p値として出力されます。

4つの正規性検定の使い分け

XLSTAT では、Shapiro-Wilk 検定のほかに3つの正規性検定を同時に実行できます。それぞれの特徴や適した場面は以下の通りです。

検定	適した場面
Shapiro-Wilk 検定	正規性を確認する代表的な検定です。5,000観測未満の標本に適しています。
Anderson-Darling 検定	データが正規分布からどの程度ずれているかを調べる検定です。特に分布の両端（裾）のずれも捉えやすい特徴があります。
Lilliefors 検定	データから平均と分散を推定したうえで、正規分布に従うかを確認する検定です。Kolmogorov-Smirnov検定を正規性の検定に使えるよう調整した手法です。
Jarque-Bera 検定	データの歪み（左右非対称の程度）と尖り具合をもとに、正規分布から外れていないかを確認する検定です。データ数が多い場合に用いられます。

実務上は、まず Shapiro-Wilk 検定の結果を主に見て、必要に応じてほかの検定の結果と食い違いがないかを確認する、という使い方が扱いやすいでしょう。XLSTAT では4つすべてにチェックを入れて同時に実行し、結果を並べて比較することができます。

正規性の検定を実行するためのデータセット

考え方がつかめたところで、次は実際のデータとXLSTAT を使って分析してみましょう。

事例：1,000人分の数学の平均点を記録した2つの標本

1,000人分の数学の平均点を記録した2つの標本（サンプルA、サンプルB）を使用します。DATA シートのA列にサンプルA、B列にサンプルB が入力されており、どちらも1,000行のデータです。平均値はサンプルA が11.846、サンプルB が11.687 とほとんど変わりません。

しかし、平均値がほぼ同じだからといって、2つの標本が同じ形の分布をしているとは限りません。この2つの標本がそれぞれ正規分布に従っていると言えるのかどうかを、正規性の検定で確認します。

サンプルデータのダウンロードはこちらから

dataset-for-Normality_tests.xlsm

なお、XLSTAT では複数の列を一度に選択した場合、標本ごとに独立して検定が実行されます。今回のように2つの標本をまとめて選択すれば、それぞれの結果が別々に出力されます。

正規性の検定を実行する手順

1. XLSTAT を起動し、[発見、説明および予測] > [データ記述] > [正規性の検定] を選択します。

   

2. [正規性の検定] ダイアログボックスが表示されたら、[一般] タブで以下の設定をします。

   

   • データ：
     DATA シート上のサンプルA とサンプルB のデータ範囲（2列分）をすべて選択
     
     
   • 標本ラベル：
     列名を含めてデータを選択した場合は、チェックを入れる
     
     
   • 有意水準(%)：
     「5」と入力（初期値のままで構いません）

3. 同じ [一般] タブで、実行する検定にチェックを入れます。[Shapiro-Wilk 検定] [Anderson-Darling 検定] [Lilliefors 検定] [Jarque-Bera 検定] の4つすべてにチェックを入れると、結果を並べて比較できます。

   

4. [チャート] タブに切り替え、[正規Q-Qプロット] にチェックを入れます。数値の判定と目視での確認を必ず併用するため、この設定は省略しないでください。[正規P-Pプロット] も同様に出力できます。

   

   補足：P-Pプロットとの違い

   [チャート] タブには [正規P-Pプロット] という選択肢もあります。どちらも「実際のデータと正規分布のずれ」を見るグラフですが、着目する場所が異なります。P-Pプロットは分布の中央付近のずれに敏感なのに対し、Q-Qプロットは分布の両端（裾）のずれが大きく見えるように描かれます。正規性が問題になるのは外れ値や歪みといった両端の振る舞いであることが多いため、正規性の確認にはQ-Qプロットのほうが向いています。

5. [OK] ボタンをクリックすると計算が始まり、結果が別シート（正規性の検定）に出力されます。

正規性の検定の結果の解釈

記述統計

結果の最初には「記述統計」の表が出力されます。正規性の検定の結果を確認する前に、「分析対象のデータに間違いがないか」「どのような特徴があるか」をざっと把握するために使います。

今回の結果では、サンプルA は最小4.904、最大18.261、平均11.846、標準偏差2.000、サンプルB は最小8.503、最大15.000、平均11.687、標準偏差1.916 となっています。「欠損値を持つObs.」がどちらも0 であることから、欠損値の混入もありません。平均も標準偏差もよく似ており、この表だけでは2つの標本の違いは見えてきません。

Shapiro-Wilk 検定の結果（サンプルA）

続いて、Shapiro-Wilk 検定の結果を確認します。見るべきポイントは「W」と「p値（両側）」の2つです。

サンプルA の結果は、W = 0.999、p値（両側）= 0.737 となりました。有意水準（α）は0.05 です。

p値の0.737 は、「この標本が正規分布から得られたものだと仮定したとき、今回のようなずれが偶然生じる確率が73.7% ある」ということを意味しています。よくあることだ、という結果です。p値が有意水準0.05 を上回っているため、帰無仮説H0 を棄却できません。したがって「サンプルA が正規分布に従わないとは言えない」、つまり正規分布に従うものとして扱ってよさそうだと判断します。W が1に非常に近い0.999 であることも、理論上の値とのずれが小さいことを裏づけています。

なお、XLSTAT の「検定の解釈」欄には「帰無仮説H0は採択されます」と表示されますが、これは「棄却できなかった」という意味です。「正規分布であることが証明された」わけではない点に注意してください（詳しくは後述の注意点3をご覧ください）。

Shapiro-Wilk 検定の結果（サンプルB）

一方、サンプルB の結果は W = 0.947、p値（両側）< 0.0001 となりました。

p値の「< 0.0001」は、「この標本が正規分布から得られたものだと仮定したとき、今回のようなずれが偶然生じる確率は0.01% 未満である」ことを示しています。ほとんど起こりえない、という結果です。p値が有意水準0.05 を下回っているため、帰無仮説H0 が棄却され、対立仮説Ha が採択されます。したがって「サンプルB は正規分布に従わない」と判断します。

ここで、W の値に注目してください。サンプルA の0.999 に対してサンプルB は0.947 と、数字の見た目としてはわずかな差です。W だけを眺めていても、この差が意味を持つかどうかは判断できません。判定はあくまでp値で行い、W はずれの大きさを表す補助的な指標として見る、という順序を守るようにしましょう。

ほかの3つの検定の結果と要約

4つの検定にチェックを入れた場合、結果の最後に全検定のp値をまとめた「要約」の表が出力されます。

サンプルA はすべての検定でp値が0.05 を上回り、サンプルB はすべての検定でp値が0.05 を下回りました。このように複数の検定の結論が一致していれば、判断の確からしさが高まります。逆に、検定によって結論が分かれた場合は、次に述べるQ-Qプロットでの目視確認や、サンプルサイズの影響を踏まえて慎重に判断する必要があります。

Q-Qプロット

[チャート] タブでQ-Qプロットにチェックを入れて実行した場合は、標本ごとにQ-Qプロットが出力されます。Q-Qプロットは、実際のデータの値（横軸）と、正規分布から期待される理論上の値（縦軸）を対応させて点を打ったグラフです。データが正規分布に従っていれば、点は斜めの点線（対角線）に沿って並びます。

サンプルA のQ-Qプロットでは、点が対角線上にきれいに並んでいます。Shapiro-Wilk 検定で「正規分布に従わないとは言えない」という結果が出たことと、見た目が一致しています。

これに対してサンプルB のQ-Qプロットでは、中央付近こそ直線に近いものの、両端が対角線から大きく外れて S 字を描いています。横軸のサンプルB の値が8.5〜15.0 の範囲に収まっているのに対し、縦軸の理論上の値は5.5〜17.8 まで広がっており、実際のデータが理論上の値ほど両端に広がっていないことがわかります。分布の裾が短く詰まっている、という状態です。数値の上ではサンプルA との差がわずかに見えたW の値も、グラフにすればこれだけはっきりとした違いとして現れます。

このように、検定の数値とグラフの見た目を突き合わせることで、「どのように正規分布から外れているのか」まで理解できるようになります。

正規性の検定を使ううえでの3つの注意点

正規性の検定は便利な一方、結果の扱い方を誤りやすい手法でもあります。正規性の検定を使用するうえでおさえておくべき3つの注意点を記載します。

1. サンプルサイズが大きいと、些細なずれでも有意になる

正規性の検定に限らず、統計的仮説検定はサンプルサイズが大きくなるほど小さな差を検出できるようになります。これは裏を返すと、データ数が多いときには、実務上まったく問題にならない程度のわずかな歪みでも「正規分布に従わない」という結果が出やすいということです。

今回のサンプルデータはいずれも1,000行あり、これは大きなサンプルサイズです。数千件規模のデータで検定を行うと、ほとんどの場合にp値が0.05 を下回ってしまう、という状況も珍しくありません。

逆に、サンプルサイズが小さいときには、実際にはかなり歪んだ分布であっても「正規分布に従わないとは言えない」という結果になりがちです。p値だけを機械的に見るのではなく、データ数がどれくらいなのかを踏まえて解釈してください。

2. ヒストグラムやQ-Qプロットによる目視確認と必ず併用する

上記の理由から、正規性の判断を検定の結果だけに委ねるのは危険です。Q-Qプロットで対角線からのずれ方を確認する、ヒストグラムを描いて分布の形そのものを見る、といった目視での確認を必ず併用してください。

「p値は0.03 だが、Q-Qプロットを見るとほぼ直線に乗っており、サンプルサイズも大きい」という状況であれば、実務上は正規分布として扱っても差し支えない、と判断できる場合があります。逆に「p値は0.08 だが、ヒストグラムが明らかに右に歪んでいる」のであれば、ノンパラメトリック検定を選ぶほうが安全です。検定は判断材料の1つであり、最終的な判断は分析者が下すものだと考えてください。

3. 検定結果は「正規分布である」ことの証明ではない

最も誤解されやすい点です。p値が0.05 を上回ったときの結論は、あくまで「正規分布に従わないとは言えなかった」であり、「正規分布であることが証明された」ではありません。XLSTAT の出力に「帰無仮説H0は採択されます」と表示されていても、意味するところは同じです。

統計的仮説検定は、帰無仮説を棄却できるかどうかを判定する枠組みであり、帰無仮説が正しいことを積極的に証明する力は持っていません。「証拠不十分で棄却できなかった」という状態と、「正しいと確認できた」という状態は、まったく別のものです。

したがって、報告書や論文に書く際は「正規性が確認された」ではなく、「Shapiro-Wilk 検定の結果、正規性は棄却されなかった（W = 0.999、p = 0.737）」のように、検定が示した内容そのままの表現を用いるのが適切です。

正規性を確認したあとの分析の進め方

正規性の検定は、それ自体が分析のゴールではなく、分析手法を検討する際の判断材料の一つです。正規性検定の結果だけで分析手法を決めるのではなく、サンプル数や分布の歪み、分析目的なども踏まえて総合的に判断します。

正規性に大きな問題がない場合（パラメトリック検定を検討）

• 2つのグループを比較する
  → XLSTAT による2標本のt 検定：平均体重を比較し、ダイエットプログラムの効果を検証する
  
  

• 3つ以上のグループを比較する
  → XLSTAT による一元配置分散分析（ANOVA）：3種類以上のチョコレートの味の評価を比較する

正規性からの逸脱が大きい場合（ノンパラメトリック検定を検討）

• 独立した2つのグループを比較する
  → XLSTAT によるマン・ホイットニーのU検定：正規分布に従わない2つのグループを比較する
  
  

• 独立した3つ以上のグループを比較する
  → XLSTAT によるクラスカル・ウォリス検定：正規分布に従わない3つ以上のグループを比較する
  
  

• 対応のある2つのグループを比較する
  → XLSTAT によるウィルコクソン符号順位検定：正規分布に従わない対応のある2グループを比較する

分布の形を目で確かめる

• XLSTAT による箱ひげ図の作成：データのばらつきを可視化しよう

• XLSTAT によるヒストグラム：データのバラつきを可視化・分析する

まとめ

正規性の検定は、データや分析モデルが正規性の前提から大きく外れていないかを確認し、適切な分析手法を検討するための方法の一つです。分析前に用いる場合のほか、分析後に残差の正規性を確認するために用いることもあります。中でもShapiro-Wilk 検定は5,000 観測未満の標本に適しており、最初に試す手法として広く使われています。

押さえるべきポイントは、帰無仮説が「正規分布に従う」であるため読み方が反対になること、p値が大きくても正規分布であることの証明にはならないこと、そしてサンプルサイズの影響を踏まえ、Q-Qプロットやヒストグラムでの目視確認と必ず併用することの3点です。

XLSTAT を使えば、使い慣れたExcel 上で4つの正規性検定を同時に実行し、Q-Qプロットまで一度に出力できます。判定に迷ったときも、数値とグラフを突き合わせて確認できるため、根拠を持って次の分析手法を選べるようになります。

参考文献

• XLSTAT: Shapiro-Wilk and other normality tests in Excel.
  https://community.lumivero.com/s/article/6538-shapiro-wilk-and-other-normality-tests-excel?language=en_US

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