• 応答曲面法とは？
• 応答曲面法と他の実験計画法との違い
• 応答曲面法のメリット
• 応答曲面法の計算過程（理論説明）
• 応答曲面法を実行するためのデータセット
• 応答曲面法を実行する手順
• 応答曲面法の結果の解釈
• まとめ
• 補足：実験計画タイプの選び方
• 参考文献
• XLSTAT の無料トライアル

応答曲面法とは？

応答曲面法（Response Surface Methodology、RSM）とは、ある結果（応答変数）に影響を与えるいくつかの条件（因子）を同時に振りながら実験を行い、その結果が最も良くなる条件の組み合わせを見つけ出すための統計的な手法です。例えば「パン製造工程の温度と時間を、どのように設定すれば品質が最も良くなるか」「配合条件を変えたとき、どの組み合わせが最も効率的か」といった、複数の条件が絡み合う最適化の課題で用いられます。

一つずつ条件を変えて実験する方法（一因子実験）でも最適な条件を探すことはできますが、条件同士が影響し合う場合（交互作用がある場合）には、この方法では本当の最適点を見逃してしまうことがあります。応答曲面法では、あらかじめ統計的に設計された少ない実験回数で、条件同士の関係性まで含めて応答の振る舞いを「曲面」として捉えることができるため、効率的に最適な条件を探索できます。

応答曲面法と他の実験計画法との違い

実験計画法にはいくつかの種類があり、目的によって使い分けます。

手法	主な目的
スクリーニング計画（因子効果）	多数の候補因子の中から、結果に影響する重要な因子を絞り込む
応答曲面法	絞り込んだ因子について、結果を最適化する条件の組み合わせを探す
田口メソッド	品質のばらつきを抑えつつ、目標値に近づける条件を探す
混合計画法	複数の成分の配合比率を最適化する

スクリーニング計画で「重要な因子」を見極めた後、応答曲面法でその因子の最適条件を詰めていく、という流れで使われることが多い手法です。

応答曲面法のメリット

応答曲面法には、主に次のようなメリットがあります。

• 実験回数を削減できる：
  考えられるすべての条件の組み合わせを総当たりで試そうとすると、因子が増えるほど必要な実験回数は爆発的に増えていきます。応答曲面法では、中心複合計画（CCD）などの統計的に設計された少数の実験条件だけで、因子同士の関係性まで含めた応答全体の傾向を把握できます。限られた予算や時間の中で、効率よく最適化を進められる点が大きな利点です。
  
  
• 試していない条件の結果も予測できる：
  実験を行うのは、あくまでも計画表に含まれる限られた数の条件だけですが、その結果に二次モデルを当てはめることで、実際には試していない条件についても結果がどうなるかを予測できるようになります。これにより、実験を追加せずに条件を細かく検討できます。
  
  
• 条件同士の交互作用を捉えられる：
  一つずつ条件を変える実験（一因子実験）では、「この条件を変えると、あの条件の効果も変わる」といった、条件同士が影響し合う関係（交互作用）を見逃してしまうことがあります。応答曲面法では、複数の因子を同時に振ることで、こうした交互作用の効果もモデルに組み込んで評価できます。これにより、単独では見えてこなかった本当の最適条件にたどり着きやすくなります。

応答曲面法の計算過程（理論説明）

XLSTAT を使えば簡単に分析を実行できますが、裏側でどのような考え方が使われているかを知っておくと、結果の理解が深まります。

ステップ1：因子の範囲を決め、実験計画を作成する

まず、調べたい因子（例：温度、時間など）について、それぞれの最小値・最大値を決めます。応答曲面法では、中心複合計画（CCD：Central Composite Design）と呼ばれる計画がよく用いられます。これは、設定した範囲の中で、組み合わせを総当たりで試す「要因点」、範囲の外側まで条件を振る「軸点」、そして同じ中心条件を繰り返し試す「中心点」を組み合わせた計画です。

中心点を複数回繰り返すのは、同じ条件で実験したときにどの程度結果がばらつくか（誤差）を把握するためです。軸点を含めることで、単純な直線関係（一次の効果）だけでなく、山型・谷型のカーブ（二次の効果）まで推定できるようになります。

ステップ2：実験を行い、結果（応答）を記録する

生成された計画表の各条件で実際に実験を行い、得られた結果（応答変数）を記録します。応答曲面法では、1つの応答だけでなく、複数の応答（例えば「強度」と「精度」など）を同時に記録し、後でまとめて最適化することもできます。

ステップ3：二次モデルを当てはめる

記録した結果に対して、各因子の影響（一次の効果）、二乗の効果（二次の効果、山型・谷型のカーブを表現）、そして因子同士の組み合わせの効果（交互作用）を含んだ数式（二次モデル）を統計的に当てはめます。これにより、実験していない条件についても、結果がどうなるかを予測できる曲面が得られます。

ステップ4：曲面を可視化し、最適な条件を探す

当てはめたモデルをもとに、等高線プロットやサーフェス（曲面）プロットを描くことで、どの条件の組み合わせで結果が最も良くなるかを視覚的に確認できます。

応答曲面法を実行するためのデータセット

考え方のイメージがつかめたところで、次は製造過程における事例を使って、XLSTAT で分析を行ってみましょう。今回はセラミックス製造工程における「脱脂」工程のデータを使用します。

セラミックスの成形品は、成形後に余分な結合剤（バインダー）を加熱して取り除く「脱脂」という工程を経ます。この工程における2つの条件（F1：脱脂温度とF2：脱脂時間）を変化させたとき、結合剤の抽出率（％）が最も高くなる条件の組み合わせを探すことが目的です。

サンプルデータのダウンロードはこちらから

dataset-for-RSM.xlsm

データにはF1：脱脂温度とF2：脱脂時間について、それぞれ最小値と最大値が入力されています。なお、今回のサンプルデータは実際のデータではないため、F2（脱脂時間）の最小値が−20 と物理的に実現不可能な値が含まれています。実際の工程で分析を行う場合は、実施可能な上下限値を最小値・最大値として入力してください。

応答曲面法を実行する手順

XLSTAT では、応答曲面の実験計画の作成から、結果の解析・最適化まで、一つのソフトウェアの中で一貫して実行できます。他のソフトウェアで計画を作成してから別ツールで解析する、といった手間が不要で、計画生成時の設定情報を引き継いだまま解析に進めるため、設定のミスや手作業による転記ミスが起こりにくい点も利点の一つです。

実験計画の作成

1. XLSTAT を起動し、[Quality] > [実験計画法（DOE）] > [応答曲面計画を生成] を選択します。

   

2. ダイアログボックスが開いたら、[一般] タブで以下の設定を行います。

   

   • 量的因子（最小/最大）：
     因子（F1、F2）それぞれの最小値・最大値を入力した表を選択します（最小値・最大値の2行構成）。
     
     
   • 応答数：
     「1」と入力（応答変数が1つの場合）。求める応答変数が2つ以上ある場合はその数を入力します。例えば「2」にすると出力結果の計画表に「応答1」「応答2」の2列が用意され、分析を実行できます。
     
     
   • 反復：
     通常は「1」のままで問題ありません。これは「計画表全体を何セット実施するか」を指定する項目です。「2」にすると今回の場合、13回×2＝26回の実験になります。実験のばらつきをより精密に評価したい場合に使いますが、コスト・時間が倍になるため、一般的には「1」のままで進めます。なお中心点の繰り返し実験（今回は5回）は計画の設計の中で別途確保されており、反復数とは独立した概念です。
     
     
   • 無作為化：
     今回はチェックを外しておきます。実験計画法では、実験を行う順番が固定されていると、時間帯の違いや材料のロット差など、意図しない外部の影響が特定の条件に偏って紛れ込んでしまうリスクがあります。無作為化を有効にすると、実行順序がランダムにシャッフルされた状態で計画表が出力されます。

3. [オプション] タブに切り替え、計画タイプとして [中心複合計画（CCD）] を選択します。実験計画タイプの詳細については、「補足：実験計画タイプの選び方」をご参照ください。

   

4. [OK] をクリックすると、実験計画表が生成されます。

   • 生成された計画表には、因子に関する情報の一覧と、実際に実施すべき13回分の実験条件が表示されます。表の最後の列（応答列）は空欄になっているので、ここに実験結果を入力していきます。応答列にすべて入力すると、自動的に「応答の最適化」の表も連動して更新されます。
     
     
   • 実際に13回の実験を行い、それぞれの条件における結合剤の抽出率（％）を応答列に入力します。

   

計画の解析

出力された計画表にすべての実験結果を入力したら、以下の手順で解析を実行します。

1. 「応答の最適化」の表内の「目標」を「最大」に変更します。

   

   ---

   補足：「応答の最適化」の目標設定について

   計画表の下部にある「応答の最適化」テーブルでは、各応答変数について「目標」を設定できます。選択肢は以下の4つです。

   • 最適化しない：
     この応答は最適化の対象から外す。複数の応答がある場合に、特定の応答だけを最適化対象から除きたいときに使用する
     
     
   • 最小：
     応答の値をできるだけ小さくする条件を探す。寸法誤差や不良率など、小さいほど良い特性に使用する
     
     
   • 目標：
     応答の値を指定した目標値に近づける条件を探す。寸法や硬度など、ある特定の値に合わせたい特性に使用する
     
     
   • 最大：
     応答の値をできるだけ大きくする条件を探す。強度や収率・抽出率など、大きいほど良い特性に使用する。

   ---

   今回は結合剤の抽出率（％）を最大化したいため、「最大」を選択します。目標を設定すると、下限・上限・ターゲットといった数値欄が有効になり、望ましさ関数（Desirability）の計算に使われます。「最大」または「最小」を選んだ場合、これらの数値はデータの実測範囲から自動入力されます。一方、「目標」を選んだ場合は、左ターゲット・右ターゲット（この範囲内に収まれば望ましさが最大となる区間）を自分で入力する必要があります。例えば「寸法誤差を0.10〜0.15mmの範囲に収めたい」のような場合は、左ターゲットに0.10、右ターゲットに0.15を手動で入力します。

2. 計画表の下にある「分析を実行」ボタンをクリックします。設定済みのダイアログボックスが自動的に開きます。

   

3. [応答] タブに切り替え、「応答の最適化」にチェックを入れます。

   

4. 「交互作用 / 水準」にチェックを入れ、水準を「2」に設定します。これにより、因子間の交互作用（2因子の組み合わせ効果）までモデルに含めて分析します。

   

5. [OK] をクリックします。

6. 「因子と交互作用」のダイアログボックスが表示されるので、モデルに含める項目を選択します。今回の2因子の例では、F1・F2（主効果）、F1*F1・F2*F2（二次項）、F1*F2（交互作用）の5項目が表示されます。「すべて」ボタンをクリックしてすべてにチェックを入れ、[OK] をクリックします。これにより、二次モデル全体を含めた分析が実行されます。

   

応答曲面法の結果の解釈

分析を実行すると、「計画の分析」シートに結果が表示されます。様々な結果が出力されますが、特に重要な項目について、その解釈方法を解説します。

応答の最適化

結果にはまず「応答の最適化」が表示されます。ここでは、設定した目標（今回は抽出率の最大化）を達成するための条件（F1：脱脂温度、F2：脱脂時間）の候補が上位5つ提示されます。

表内の「望ましさ（Desirability）」はモデルの各応答が目標をどの程度達成しているかを0〜1のスコアで表すもので、1.000は「目標を完全に達成している」ことを意味します。今回の結果では5つのソリューションすべての望ましさが1.000となっており、いずれも実測データの最大値（71.85%）以上の抽出率を達成する条件として算出されています。また、5つの候補の条件がそれぞれ異なる点も重要です。最適な条件は1つに絞られるわけではなく、同程度の「望ましさ」を達成できる条件が複数存在することを示しています。実務では、この中から実施しやすい温度・時間の組み合わせや、コスト・安全性などの観点で現実的な条件を選ぶことができます。後述の等高線プロットやサーフェスプロットと合わせて確認することで、最適点の位置をより直感的に把握できます。

分散分析（ANOVA）

応答の最適化の次に、分散分析（ANOVA）の結果が出力されます。これは、作成した二次モデル全体が、応答変数（抽出率）のばらつきをどれだけ説明できているかを検証する表です。

各行・各列の読み方は以下のとおりです。

• モデル（DF=5）：
  今回のモデルには5つの項（F1、F2、F1*F1、F2*F2、F1*F2）が含まれており、自由度は項の数と一致します。平方和301.717 は、モデルによって説明できたデータのばらつきの大きさを表します。
  
  
• 誤差（DF=7）：
  モデルで説明できなかった残差（実測値と予測値の差）の大きさです。全実験回数（13回）から、全体の平均（1）とモデルに含めた項の数（5）を引いた残り（13-1-5 = 7）が誤差の自由度となります。平方和1.174はモデルの平方和301.717に比べて非常に小さく、モデルがデータをよく説明できていることを示しています。
  
  
• F値（359.921）とPr > F（< 0.0001）：
  F値はモデルの説明力と誤差の比率を表します。F値が大きく、p値（Pr > F）が0.05より十分に小さい場合（ここでは0.0001未満）、このモデルは統計的に有意であることを意味します。つまり「この5つの因子・交互作用の組み合わせは、抽出率のばらつきを説明するうえで意味のあるモデルである」と判断できます。

Type III の平方和

各因子・各効果（一次の効果、二次の効果、交互作用）が統計的に有意かどうかを示す表です。F値が大きく、p値（Pr > F）が小さい項目ほど、応答に対する影響が大きいことを意味します。

各行・各列の読み方は以下のとおりです。

• すべての項が有意：
  F1・F2の主効果、両因子の二次項、交互作用のすべてが統計的に有意であり、モデルに含めた5つの項が抽出率に対して意味のある影響を持っていることが確認できます。
  
  
• F値の大きさで影響力を比較できる：
  F値が最も大きいのはF1*F1（607.061）、次いでF2（508.585）、F2*F2（431.548）の順です。F1*F1（温度の二次項）が突出して大きく、温度の最適点の存在がこのモデルで最も重要な要素であることがわかります。
  
  
• 交互作用（F1*F2）のF値が最小（15.3）：
  交互作用（F1*F2）のF値は有意ではあるものの他の項と比べると影響力は相対的に小さく、この後に表示される標準化係数の結果（−0.092）とも整合しています。

モデルパラメータ

分散分析でモデル全体の有意性が確認できたら、次にモデルパラメータ（各項の係数）の表を確認します。この表では、各因子・各効果が応答（抽出率）に対してどの方向にどれだけ影響しているかを定量的に読み取ることができます。

各列・各行の読み方は以下のとおりです。

• 係数（数値）：
  その項が応答に与える影響の大きさと方向を示します。プラスであれば応答を増加させ、マイナスであれば減少させる方向に働きます。例えばF1の係数2.728は「脱脂温度が高くなるほど抽出率が上がる傾向がある」ことを、F1*F1の係数−3.825は「温度の効果には二次的な折り返し（山型）がある」ことを示しています。
  
  
• 切片（71.550）：
  すべての因子が中心値（今回はF1=120℃、F2=40分）にあるときの予測抽出率です。実際の中心点での実験結果が71〜72%台であることと整合しています
  
  
• 標準誤差・t値・Pr > |t|：
  各係数の推定精度と統計的有意性を示します。t値が大きく（絶対値が大きく）、p値（Pr > |t|）が0.05未満であれば、その係数は統計的に有意、つまり「偶然ではなく本当に応答に影響している」と判断できます。今回はすべての項が有意（***または**）となっており、モデルに含めた5つの項すべてが抽出率に対して意味のある影響を持っていることがわかります。
  
  
• 二次項の係数がマイナス（F1*F1=−3.825、F2*F2=−3.225）：
  両因子ともに二次項の係数がマイナスであることは、山型の応答曲面（頂点に最適点が存在する）を意味します。つまり「ある温度・時間より低くても高くても抽出率が下がる」という最適点の存在を数式として確認できています。
  
  
• 交互作用項（F1*F2=−0.800）：
  係数がマイナスで有意（**）であることは、「温度が高いときに時間を長くしすぎると、抽出率の上昇効果が打ち消される」という交互作用が統計的に確認されたことを意味します。一因子ずつ実験するだけでは見えてこないこの関係を数値で示している点が、応答曲面法の大きな強みです。
  
  
• 下限・上限（95%信頼区間）：
  95%信頼区間は、同じ実験を繰り返したときに、得られる信頼区間の約95%が真の係数を含むように設定された範囲です。この区間が0をまたいでいない場合、その係数は統計的に有意と判断できます。

標準化係数

標準化係数は、単位の異なる複数の因子の影響力を共通のスケールで比較できるよう変換した係数です。脱脂温度（℃）と脱脂時間（分）のように単位が異なる因子では、モデルパラメータの係数をそのまま比べても「どちらがより重要か」を正しく判断できません。標準化係数を使うことで、単位の違いを取り除いた上で各因子の相対的な影響力を比較できます。

表とグラフから、以下のことが読み取れます。

• F2（脱脂時間）の影響力が主効果の中で最大（0.531）：
  主効果の中では脱脂時間の方が脱脂温度（0.443）より応答への影響が大きく、時間の管理が抽出率の向上により効いていると解釈できます。
  
  
• 二次項の影響力が主効果を上回る（F1*F1=−0.585が最大）：
  絶対値で最も大きいのは脱脂温度の二次項（−0.585）で、「温度には最適点があり、高すぎても低すぎても抽出率が低下する効果が非常に強い」ことを示しています。山型の曲面を形成する主な要因です。
  
  
• 交互作用（F1*F2=−0.092）の影響は相対的に小さい：
  他の項と比べると絶対値が小さく（−0.092）、有意ではあるものの主効果・二次項ほど大きな影響は持っていません。グラフでも棒の高さが明らかに低いことが確認できます。

等高線プロット・サーフェスプロット

応答曲面法の結果を最も直感的に理解できるのが、この等高線プロットとサーフェスプロットです。両方のグラフは先ほどのモデル式をそのままグラフ化したものであり、実験していない条件を含めた全域での応答の変化を視覚的に確認できます。

色の読み方：
赤（暖色）が応答の値が高い（今回は抽出率が高い）領域を、青・緑（寒色）が低い領域を表します。今回は抽出率を最大化することが目的なので、赤い領域ほど望ましい条件、青い領域ほど抽出率が低い条件を示します。

等高線プロット：
2次元の地図のように、同じ抽出率の値を結んだ線（等高線）を描いて因子の組み合わせと応答の関係を示します。今回の結果では、右上付近（F1高め・F2高め）を中心に赤い同心円状の領域が広がっており、この付近に最適条件が存在することが読み取れます。等高線が密になっている（色の変化が急な）方向は、その因子の変化に応答が敏感に反応することを意味します。

サーフェスプロット：
同じデータを3次元の曲面として表したものです。曲面の山が高いほど抽出率が高く、今回は右奥（F1高め・F2高め）に向かって高くなる山型の形状が確認できます。

なお、今回のグラフではF1（脱脂温度）の範囲が−20〜260と実験範囲を大きく超えた値になっていますが、これは先に触れたデータの設定に起因するものです。実際の最適条件を読み取る際は、現実的に実施可能な温度・時間の範囲（赤い領域の中でも実用的な部分）を考慮した上で判断することが重要です。

このグラフから読み取れる最適条件は脱脂温度135℃前後・脱脂時間52分前後であり、その条件における抽出率の予測値は72.4%超となります。

まとめ

応答曲面法は、複数の条件（因子）が結果に与える影響を、曲面として捉えることで最適な組み合わせを見つけ出す手法です。条件同士の交互作用や、山型・谷型のカーブまで考慮できるため、単純な一因子実験では見つけられない最適条件を効率的に探索できます。XLSTAT を使用すれば、実験計画の作成から二次モデルの当てはめ、複数応答の同時最適化まで、専門的な統計知識がなくても一連の流れを実行することができます。等高線プロットやサーフェスプロットで結果を視覚的に確認しながら、製造工程や配合条件の最適化に役立てることができます。

補足：実験計画タイプの選び方

XLSTAT では、応答曲面計画を作成する際に、目的や実験条件に合わせて以下の5種類の計画タイプから選択できます。

計画タイプ	特徴	向いているケース
2水準の完全実施要因計画	各因子の上限・下限のみを総当たりで組み合わせる。実験回数は少ないが二次の効果（カーブ）は推定できない	因子数が少なく、まず線形効果を大まかに確認したい場合
3水準の完全実施要因計画	最小値・中心値・最大値の3段階を総当たりで組み合わせる。二次の効果も推定できるが、因子が増えると実験回数が急増する	因子数が2〜3と少なく、全組み合わせを網羅したい場合
中心複合計画（CCD）	要因点・軸点・中心点を組み合わせた最もスタンダードな設計。軸点が設定範囲の外側に出ることがある	汎用的な最適化。因子数が3〜5程度で標準的に使われる
Box-Behnken計画	CCDより実験回数が少なく、すべての実験点が設定範囲の内側に収まる	極端な条件が危険・不可能な場合、実験回数を抑えたい場合
Doehlert計画	因子ごとに水準数を変えられる柔軟な設計。他の設計より多くの水準を設定できるが扱いがやや複雑	特定の因子をより細かく調べたい場合

本ページの事例では、応答曲面法の標準的な設計である中心複合計画（CCD）を使用しています。

参考文献

• Surface response designs.
  https://www.xlstat.com/solutions/features/surface-response-designs
  
  
• XLSTAT: Surface response design in Excel. 
  https://community.lumivero.com/s/article/6473-surface-response-design-excel-tutorial?language=en_US

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